齐次线性方程组有非零解例题

更新日期：2026-11-12 09:41:48

标题

齐次线性方程组有非零解例题

内容

在学习线性代数的过程中，齐次线性方程组是一个重要的内容。齐次线性方程组的一般形式为：

A\mathbf{x} = \mathbf{0}

其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量，$ \mathbf{0} $ 是零向量。齐次方程组总是至少有一个解，即零解（全为零的解）。但若系数矩阵的秩小于未知数个数，则该方程组存在非零解。

下面通过几个典型例题，总结齐次线性方程组有非零解的条件及求解方法。

一、例题分析

例题1：

设齐次线性方程组为：

\begin{cases}

x + y - z = 0 \\

2x + 2y - 2z = 0 \\

3x + 3y - 3z = 0

\end{cases}

分析：

观察可知，第二个方程是第一个方程的两倍，第三个方程是第一个方程的三倍，因此三个方程之间是线性相关的。所以矩阵的秩为1，而未知数个数为3，因此方程组有非零解。

结论：有非零解。

例题2：

设齐次线性方程组为：

\begin{cases}

x + y = 0 \\

2x + 2y = 0

\end{cases}

分析：

两个方程相同，说明矩阵的秩为1，未知数个数为2，因此方程组有非零解。

结论：有非零解。

例题3：

设齐次线性方程组为：

\begin{cases}

x + y + z = 0 \\

x - y + z = 0 \\

x + y - z = 0

\end{cases}

分析：

构造增广矩阵并进行行变换：

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 1 \\

1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

通过消元后发现矩阵的秩为3，与未知数个数相同，因此只有零解。

结论：无非零解。

二、判断齐次方程组是否有非零解的方法

方法	说明
矩阵秩	若系数矩阵的秩 $ r < n $（n 为未知数个数），则有非零解
行列式	当系数矩阵为方阵时，若其行列式为0，则有非零解
方程个数	若方程个数少于未知数个数，通常会有非零解

三、总结表格

例题编号	系数矩阵	秩	未知数个数	是否有非零解	说明
1	$\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&2&-2\\3&3&-3\end{bmatrix}$	1	3	是	矩阵秩小于未知数个数
2	$\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}$	1	2	是	矩阵秩小于未知数个数
3	$\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}$	3	3	否	矩阵秩等于未知数个数

通过以上例题和总结，我们可以更清晰地理解齐次线性方程组是否存在非零解的判断标准。在实际应用中，应结合矩阵的秩、行列式以及方程之间的相关性进行综合分析。

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